Die formale Definition lautet:

Kunst des Denkens. Im allg. Sprachgebrauch:

(1) Fähigkeit, folgerichtig zu denken;

(2) Notwendigkeit, Zwangsläufigkeit. I.e.S. ist Logik die Lehre von den formalen Beziehungen zwischen Denkinhalten, deren Beachtung im tatsächlichem Denkvorgang für dessen (logische) Richtigkeit entscheidend ist.

https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/logik-39870

Aber was bedeutet folgerichtiges Denken? Nehmen wir mal diese Aussage:

“Es gibt nur halb so viele gerade natürliche Zahlen, wie natürliche Zahlen überhaupt.”

Ja natürlich! Ist doch logisch, oder? Tatsächlich können wir jeder geraden Zahl eine natürliche Zahl zuordnen und zwar das Doppelte. Somit ist die Aussage falsch. Hierbei handelt es sich um einen logischen Fehlschluss.
_{Ein Talent, welches Verschwörungstheoretiker besonders verinnerlicht haben(Ich bin zu hart zu Verschwörungstheoretikern).}

Oder folgendes Beispiel:

Pinguine sind schwarz und weiß, einige alte Fernsehsendungen sind schwarz und weiß, daraus folgt, dass Pinguine alte Fernsehsendungen sind.

Und noch ein Beispiel:
Impfungen können mit einer geringen Wahrscheinlichkeit Nebenwirkungen haben und daran ist die Regierung schuld.

Ok. Spaß bei Seite.
Letztendlich ist es gar nicht so einfach zu sagen was überhaupt folgerichtig, bzw richtig oder falsch ist. Die Logik als “denkende Kunst” entsprang ursprünglich aus der Philosophie und nicht wie viele annehmen aus der Mathematik.
Wenn ich dir einen Apfel vorhalte und sage “dieser Apfel ist rot!” würdest du mit einer hohen Wahrscheinlichkeit sagen: “Stimmt der Apfel ist rot.”, ein Farbenblinder würde mir jedoch widersprechen. Wer hat nun Recht? “Die Mehrheit natürlich!” Aber die Mehrheit glaubte auch, dass die Erde flach sei und auch das kann man leicht als falsch widerlegen. Schmeckt Schokolade für alle gleich? Oder schmeckt mein Schokolade nach deinem Vanille? Du siehst worauf ich hinaus will…

Was sind Aussagen?

In der Logik dreht sich alles um Aussagen. Wir möchten sagen können, ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Aber was genau ist eine Aussage und was ist keine?

Eine Aussage ist nur dann eine, wenn wir sie als wahr oder falsch interpretieren können.

Dabei spiel es erstmal keine Rolle, ob die Aussage nun wahr oder falsch ist, denn es gibt wahre und falsche Aussagen. Wir möchten nur zeigen können welchen Wahrheitswert eine Aussage hat:
“Budapest ist die Hauptstadt von Deutschland.” ist eine falsche Aussage.
“Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland.” ist eine wahre Aussage.
“Berlin wird immer die Hauptstadt von Deutschland sein.” ist keine Aussage, denn wir können nicht sagen, ob es wahr oder falsch ist.

Aussage	Keine Aussage
Stroh wird als Tierfutter verwendet	Warum liegt da Stroh?
Ein Kilogramm Muskeln sind schwerer, als ein halber Kilogramm Fett.	Muskeln sind schwerer als Fett.

Warum nicht natürliche Sprache statt Hieroglyphen?

Dafür gibt es mehrere Gründe. Einerseits bläht die natürliche Sprache ziemlich auf. Wie du in der Tabelle siehst, ist die Formale Darstellung mit nur drei Zeichen extrem kurz und übersichtlich.
Stell dir vor, du müsstest alle möglichen Interpretationen der Aussage nennen:

Natürliche Sprache	Formale Darstellung
Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
Wenn es regnet, dann ist die Straße trocken.
Wenn es nicht regnet, dann ist die Straße nass.
Wenn es nicht regnet, dann ist die Straße trocken.

Formale Logik – Vor lauter Zeichen, den Satz nicht sehen können.

Damit wir solche Probleme einfacher vermeiden können, haben wir die formale Logik entwickelt. Dabei wird ein sogenanntes formales System verwendet. Ein solches formales System besteht aus Symbolketten und Regeln für die Umwandlung der Symbolketten.

Als formale Logik wird im Allgemeinen eine Logik bezeichnet, die sich mit dem Zusammenhang zwischen der logischen Form von Aussagen und der Gültigkeit von Ableitungs- und Folgerungsbeziehungen zwischen diesen Formen beschäftigt. In einem engeren Sinne werden vor allem Logiken so bezeichnet, die eine formalisierte Darstellung der Aussagen und Schlussfolgerungen verwenden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Logik

Dabei wird grundsätzlich zwischen zwei Wahrheitswerten unterschieden: wahr und falsch.
Der große Vorteil eines solchen Systems ist es, dass wir die Gültigkeit rein syntaktisch zeigen können, durch Anwendung der Regeln zur Umwandlung der Symbolketten, ohne die Bedeutung der Symbole zu kennen. Ok nochmal mit etwas weniger Fachchinesisch:
Du musst nicht genau wissen worum es in der Aussage geht – Äpfel, Birnen, Zwetschgen – sondern kannst allein durch die Kenntnis der Regeln zeigen, dass die Aussage wahr oder falsch ist.

Natürliche Sprache	Formale Darstellung
Wenn es regnet, dann ist die Straße nass

Hierbei handelt es sich bei um eine Symbolkette. In der Logik nennt man eine Implikation(wenn…dann).
Die Symbole, welche wir in der Logik verwenden und was wir damit anfangen können, erkläre ich in dem Beitrag zur Aussagenlogik, bzw. der Prädikatenlogik.

Welche Arten von Logiken gibt es?

Logik ist nicht immer gleich Logik. Grundsätzlich muss ein Informatiker sich auf jeden Fall mit den zweiwertigen logischen Systemen auskennen.

Zweiwertig in der Hinsicht, dass man zwischen den Wahrheitswerten wahr und falsch, unterscheidet. Dazu gehört z.b die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik. Aber es gibt auch noch mehrwertige logische Systeme wie zum Beispiel die Fuzzy Logik.